Question

已知圆C在y轴上截得的弦为AB，A的坐标为（0，5），B的坐标为（0，3），且圆心在直线x=2上，若点Q（x，y）是圆C上的一个动点，点P的坐标为（-1，3）．
（1）求圆心C的坐标并写出圆C的方程；
（2）求P与Q的距离的最小值；
（3）当直线PQ与圆C相切时，求直线PQ的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）利用条件直接求圆心C的坐标求出半径即可写出圆C的方程；
（2）求出圆心到P的距离减去圆的半径就是P与Q的距离的最小值；
（3）设出直线PQ的方程，利用直线PQ和圆相切，建立方程，即可求得结论；

解答： 解：（1）圆C在y轴上截得的弦为AB，A的坐标为（0，5），B的坐标为（0，3），且圆心在直线x=2上，
所以圆心C的坐标（2，4），圆的半径为：

(2-0)2+(4-3)2

=

5

，
所以圆C的方程：（x-2）²+（y-4）²=5；
（2）由题意可知|PC|=

(2+1)2+(4-3)2

=

10

，所以P与Q的距离的最小值为

10

-

5

；
（3）设直线PQ的方程为：y=kx+k+3，故圆心到直线l的距离d=

|3k-1|

1+k2

=

5

．
解得k=2或k=-

1

2

．
所以，直线l的方程为2x-y+5=0或x+2y-5=0．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．