Question

设函数f（x）=x-ae^x（a∈R），x∈R．已知函数y=f（x）有两个不同的零点，则a的取值范围是（　　）

• A、（0，e^-1）
• B、[0，e^-1）
• C、（-∞，e^-1）
• D、（-∞，0）

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；

解答： 解：∵f（x）=x-ae^x，∴f′（x）=1-ae^x；
下面分两种情况讨论：
①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；
②a＞0时，由f′（x）=0，得x=-lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-lna）	-lna	（-lna，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	递增	极大值-lna-1	递减

∴f（x）的单调增区间是（-∞，-lna），减区间是（-lna，+∞）；
∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：
（i）f（-lna）＞0，（ii）存在s₁∈（-∞，-lna），满足f（s₁）＜0，（iii）存在s₂∈（-lna，+∞），满足f（s₂）＜0；
由f（-lna）＞0，即-lna-1＞0，解得0＜a＜e^-1；
取s₁=0，满足s₁∈（-∞，-lna），且f（s₁）=-a＜0，
取s₂=

2

a

+ln

2

a

，满足s₂∈（-lna，+∞），且f（s₂）=（

2

a

-e

2

a

）+（ln

2

a

-e

2

a

）＜0；
∴a的取值范围是（0，e^-1）．
故选A．

点评：本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与零点问题，也考查了函数思想、化归思想和分析问题、解决问题的能力．