Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}中，a_n+a_n+4=2abn，各项均为正数的等比数列{c_n}中，c₁c₉=16，c₃c₅=4，则数列{b_nc_n}的前n项和为（　　）

• A、（n+2）•2^n-1-

  1

  2

• B、

  1

  2

  -（n+2）•2^n-1
• C、（n+1）•2^n-2-

  1

  4

• D、

  1

  4

  -（n+1）•2^n-2

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：依题意，利用等差数列的性质可得2a_n+2=2abn，从而得到b_n=n+2；利用等比数列的性质及通项公式，易得c_n=c₄q^n-4=2^n-3，设数列{b_nc_n}的前n项和为S_n，利用错位相减法即可求得数列{b_nc_n}的前n项和．

解答： 解：由等差中项的性质得a_n+a_n+4=2a_n+2，又已知a_n+a_n+4=2abn，所以2a_n+2=2abn．
因为公差不为0，所以b_n=n+2．
因为数列{c_n}各项为正，所以由c₁c₉=c52=16，得c₅=4，同理，由c₃c₅=

c

2 4

=4，得c₄=2，
所以公比q=

c5

c4

=2，所以c_n=c₄q^n-4=2^n-3．
设数列{b_nc_n}的前n项和为S_n，
则S_n=3×2^-2+4×2^-1+5×2⁰+6×2¹+…+（n+1）•2^n-4+（n+2）•2^n-3，①
2S_n=3×2^-1+4×2⁰+5×2¹+6×2²+…+（n+1）•2^n-3+（n+2）•2^n-2，②
①-②，得-S_n=3×2^-2+（2^-1+2⁰+2¹+…+2^n-3）-（n+2）•2^n-2，
化简得S_n=（n+1）•2^n-2-

1

4

．
故答案为：C．

点评：本题考查等差数列与等比数列的性质及通项公式的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．