Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）

• A、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• B、（-2，0）∪（0，2）
• C、（-2，0）∪（2，+∞）
• D、（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：因为

xf′(x)-f(x)

x2

＞0恒成立，；然后利用导函数的正负性，可判断函数y═

f(x)

x

在（0，+∞）内单调递增；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（-∞，0）内的正负性．则解集即可求得．

解答： 解：当x＞0时，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，即有y=

f(x)

x

在区间（0．+∞）上单调递增，且

f(2)

2

=0，
所以当0＜x＜2时，f（x）＜0，
当x＞2时，f（x）＞0，
根据函数f（x）是奇函数，
得到x＜-2时，f（x）＜0，
-2＜x＜0时，f（x）＞0．
综上所述，当x＞2或者-2＜x＜0时，f（x）＞0，
故选：C．

点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征，属于中档题．