Question

2．已知$f（x）={cos^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}$，
（1）求出f（x）图象的对称中心的坐标；
（2）△ABC三个内角A、B、C所对边为a、b、c，若f（A）+1=0，b+c=2．求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，可得f（x）图象的对称中心的坐标；
（2）根据f（A）+1=0，求解出A，利用余弦定理建立关系，根据基本不等式求a的最小值．

解答 解：$f（x）={cos^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}$，
化简可得：f（x）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$=cos（2x+$\frac{π}{3}$）
（1）令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得x=$\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z
∴f（x）的对称中心为：（$\frac{π}{12}+\frac{1}{2}kπ$，0），
（2）由（1）可知f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）
∵f（A）+1=0，即cos（2A+$\frac{π}{3}$）+1=0，
∴cos（2A+$\frac{π}{3}$）=-1．
∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{7π}{3}$
∴2A+$\frac{π}{3}$=π，∴A=$\frac{π}{3}$
∵b+c=2，∴b²+c²=（b+c）²-2bc=4-2bc
由余弦定理，可得：a²=b²+c²-2bc•cosA=4-3bc≥4-3（$\frac{b+c}{2}$）²=1．
当且仅当b=c=1时，a取得最小值1．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质，余弦定理和基本不等式的运用．属于中档题．