Question

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=2A₁B₁，∠BAD=60°
（1）证明：BB₁⊥AC；
（2）若AB=2，且二面角A₁-AB-C大小为60°，连接AC，BD，设交点为O，连接B₁O．求三棱锥B₁-ABO外接球的体积．
（球体体积公式：V=

4

3

πR³，R是球半径）

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）底面平行四边形ABCD中，AB=AD，可得四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，又DD₁⊥平面ABCD，可得DD₁⊥AC，因此AC⊥平面BDD₁，即可证明．
（2）四边形ABCD为平行四边形，可得OD=

1

2

BD．由棱台定义及AB=AD=2A₁B₁知D₁B₁∥DO，且D₁B₁=DO，可证：边四形D₁B₁OD为平行四边形，得到DD₁∥B₁O．
可得B₁O⊥平面ABCD，即B₁O⊥AO，B₁O⊥BO．由（1）知AC⊥BD于点O，即AO⊥BO，以DB，AC，OB₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图，
设B₁（0，0，h），则D₁（-1，0，h）；设A₁（a，b，h） （h＞0）．则

DA

=（1，-

3

，0），

D1A1

=（a+1，b，0），设平面A₁AB的一个法向量为

n

=(x，y，z)，则

AA1 • n =0 AB • n =0

，可得

n

，又已知平面ABC的一个法向量

m

=(0，0，1)由二面角A₁-AB-C大小为60°，可得|cos＜

n

，

m

＞|=

3 h

9+3+ 9 h2

=

1

2

，解得h．利用三棱锥B₁-ABO外接球的直径就是以OA，OB，OB₁为三条棱的长方体的体对角线，求出即可得出．

解答： （1）证明：底面平行四边形ABCD中，连接AC，BD，设AC∩BD=O，
∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又DD₁⊥平面ABCD，
∴DD₁⊥AC，又BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BDD₁，
又∵四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱DD₁与BB₁延长后交于一点，
∴BB₁?平面BDD₁，∴AC⊥BB₁．即BB₁⊥AC．
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD=

1

2

BD．
由棱台定义及AB=AD=2A₁B₁知D₁B₁∥DO，且D₁B₁=DO，
∴边四形D₁B₁OD为平行四边形，∴DD₁∥B₁O．
∵DD₁⊥平面ABCD，
∴B₁O⊥平面ABCD，即B₁O⊥AO，B₁O⊥BO．
由（1）知AC⊥BD于点O，即AO⊥BO
以DB，AC，OB₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图：则
A（0，-

3

，0），B（1，0，0），D（-1，0，0），设B₁（0，0，h），则D₁（-1，0，h）；设A₁（a，b，h）    （h＞0）
则

DA

=（1，-

3

，0），

D1A1

=（a+1，b，0），
∵

D1A1

=

1

2

DA

，
∴a=-

1

2

，b=-

3

2

．即A₁（-

1

2

，-

3

2

，h）．
∴

AA1

=(-

1

2

，

3

2

，h)，

AB

=(1，

3

，0)
设平面A₁AB的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则

AA1 • n =0 AB • n =0

，即

- 1 2 x+ 3 2 y+hz=0 x+ 3 y=0

取y=

3

，则x=-3，z=-

3

h

即

n

=(-3，

3

，-

3

h

)，
又已知平面ABC的一个法向量

m

=(0，0，1)，
由二面角A₁-AB-C大小为60°，可得|cos＜

n

，

m

＞|=

3 h

9+3+ 9 h2

=

1

2

，
解得：h=

3

2

即棱台的高为

3

2

∵B₁O⊥AO，B₁O⊥BO，AO⊥BO，
∴三棱锥B₁-ABO外接球的直径就是以OA，OB，OB₁为三条棱的长方体的体对角线，长为

( 3 )2+12+( 3 2 )2

=

5

2

，
∴外接球半径R=

5

4

，
∴外接球体积为V=

4

3

πR3=

4

3

π×(

5

4

)3=

125π

48

．

点评：本题考查了向量相互垂直与数量积的关系证明线面垂直、利用法向量的夹角求出二面角的方法、长方体外接球的体积计算公式、平行四边形与菱形的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．