Question

设c＞0．命题P：y=log_cx是减函数．命题Q：|x-1|-x+2c＞0对任意x∈R恒成立．若P或Q为真，P且Q为假，试求c的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：根据对数函数的单调性，以及通过去绝对值即可求出命题P，Q下c的取值范围．而根据P或Q为真，P且Q为假得P真Q假，或P假Q真，所以求出每种情况下c的取值范围再求并集即可．

解答： 解：由命题P知0＜c＜1；
由命题Q知，对任意x∈R，c＞

x-|x-1|

2

恒成立；
∵

x-|x-1|

2

=

1 2 x≥1 x- 1 2 x＜1

；
x＜1时，x-

1

2

＜

1

2

；
∴

x-|x-1|

2

的最大值为

1

2

；
∴c＞

1

2

；
若P或Q为真，P且Q为假，则P，Q一真一假；
P真Q假时，0＜c＜1且0＜c≤

1

2

，∴0＜c≤

1

2

；
P假Q真时，c≥1且c＞

1

2

，∴c≥1；
∴c的取值范围为(0，

1

2

]∪[1，+∞)．

点评：考查对数函数的单调性，处理含绝对值函数的方法：去绝对值，以及P或Q，P且Q真假和P，Q真假的关系．