Question

6．根据下列条件求双曲线的标准方程．   
（1）已知双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{2}{3}$x，且过点M（$\frac{9}{2}$，-1）；
（2）与椭圆$\frac{x^2}{49}$+$\frac{y^2}{24}$=1有公共焦点，且离心率e=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线的渐近线设出双曲线的渐近线系方程进行求解即可．
（2）根据条件设出双曲线的方程，利用待定系数法进行求解即可．

解答 解：（1）∵双曲线的渐近线方程为2x±3y=0，
∴可设双曲线的方程为4x²-9y²=λ（λ≠0）．
又∵双曲线过点M（$\frac{9}{2}$，-1），
∴λ=4×$\frac{81}{4}$-9=72．
∴双曲线方程为4x²-9y²=72，即$\frac{x2}{18}$-$\frac{y2}{8}$=1．
（2）解法1（设标准方程）
由椭圆方程可得焦点坐标为（-5，0），（5，0），
即c=5且焦点在x轴上，
∴可设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），且c=5．
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，∴a=4，∴b²=c²-a²=9．
∴双曲线的标准方程为$\frac{x2}{16}$-$\frac{y2}{9}$=1．
解法2（设共焦点双曲线系方程）
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴可设双曲线方程为$\frac{x2}{49-λ}$-$\frac{y2}{λ-24}$=1（24＜λ＜49）．
又e=$\frac{5}{4}$，∴$\frac{λ-24}{49-λ}$=$\frac{25}{16}$-1，解得λ=33．
∴双曲线的标准方程为$\frac{x2}{16}$-$\frac{y2}{9}$=1．

点评 本题主要考查双曲线的方程的求解，根据条件设出双曲线的方程，利用待定系数法是解决本题的关键．