设f(x)=logag={log {\frac{1}{2}}}＞1.求x的取值范围,=ax2-x.是否存在a使得f(x)在区间[$\frac{1}{2}$.3]上是增函数?如果存在.说明a可以取哪些值,如果不存在.请说明理由．(Ⅲ)定义在[p.q]上的一个函数m(x).用分法T:p=x0＜x1＜-＜xi-1＜xi＜-＜xn=q将区间[p.q]任意划分成n个小区� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．设f（x）=log_ag（x）（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）若$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（2x-1）$，且满足f（x）＞1，求x的取值范围；
（Ⅱ）若g（x）=ax²-x，是否存在a使得f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，3]上是增函数？如果存在，说明a可以取哪些值；如果不存在，请说明理由．
（Ⅲ）定义在[p，q]上的一个函数m（x），用分法T：
p=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=q
将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得不等式|m（x₁）-m（x₀）|+|m（x₂）-m（x₁）|+…+|m（x_i）-m（x_i-1）|+…+|m（x_n）-m（x_n-1）|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数．试判断函数f（x）=${log_{\sqrt{66}}}（4{x^2}-x）$是否为在[$\frac{1}{2}$，3]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．

分析（Ⅰ）若f（x）＞1，则$lo{g}_{\frac{1}{2}}（2x-1）＞lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}即\left\{\begin{array}{l}2x-1＜\frac{1}{2}\\ 2x-1＞0\end{array}\right.$，解得答案；
（Ⅱ）分类讨论使f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，3]上是增函数的a值，综合讨论结果可得答案；
（Ⅲ）根据函数f（x）=${log_{\sqrt{66}}}（4{x^2}-x）$为[$\frac{1}{2}$，3]上的有界变差函数，结合（Ⅱ）中结论，可得答案．

解答解：（Ⅰ）$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（2x-1）＞1?{log_{\frac{1}{2}}}（2x-1）＞{log_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{2}?\left\{\begin{array}{l}2x-1＜\frac{1}{2}\\ 2x-1＞0\end{array}\right.$…（3分）
解得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}$…（4分）
（Ⅱ）当a＞1时，$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2a}≤\frac{1}{2}\\ g（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}＞0\end{array}\right.⇒a＞2$…（6分）
当0＜a＜1时，$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2a}≥3\\ g（3）=9a-3＞0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a≤\frac{1}{6}\\ a＞\frac{1}{3}\end{array}\right.$，无解…（7分）
综上所述a＞2…（8分）
（Ⅲ）函数f（x）=${log_{\sqrt{66}}}（4{x^2}-x）$为[$\frac{1}{2}$，3]上的有界变差函数．…（9分）
由（2）知当$a=\sqrt{66}$时，函数f（x）为[$\frac{1}{2}$，3]上的单调递增函数，
且对任意划分T：$\frac{1}{2}={x_0}＜{x_1}＜…＜{x_{i-1}}＜{x_i}＜…＜{x_n}=3$，
有$f（\frac{1}{2}）=f（{x_0}）＜f（{x_1}）＜…＜f（{x_{n-1}}）＜f（{x_n}）=f（3）$，
所以f（x₁）-f（x₀）+f（x₂）-f（x₁）+…+f（x_n）-f（x_n-1）=$f（{x_n}）-f（{x_0}）=f（3）-f（\frac{1}{2}）={log_{\sqrt{66}}}33-{log_{\sqrt{66}}}\frac{1}{2}=2$，…（11分）
所以存在常数M≥2，使得$\sum_{i=1}^n{|{f（{x_i}）-f（{x_{i-1}}）}|}≤M$恒成立，
所以M的最小值为2．…（12分）

试题分类