Question

8．中心在原点，一焦点为F₁（0，c）的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点横坐标是$\frac{1}{2}$，则此椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由题意设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0）；从而联立方程化简可得（9b²+a²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0，从而利用韦达定理及中点坐标公式可得$\frac{12{b}^{2}}{9{b}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$×2，从而解得．

解答 解：由题意，设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0）；
联立方程可得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{y=3x-2}\end{array}\right.$，
消y化简可得，
（9b²+a²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0，
∵截得的弦的两个端点为（x₁，y₁），（x₂，y₂）；
∴x₁+x₂=$\frac{12{b}^{2}}{9{b}^{2}+{a}^{2}}$，
又∵截得的弦的中点横坐标是$\frac{1}{2}$，
∴x₁+x₂=$\frac{12{b}^{2}}{9{b}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$×2，
即12b²=9b²+a²，
即12（a²-c²）=9（a²-c²）+a²，
故2a²=3c²，
故e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
故选B．

点评 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及待定系数法的应用，同时考查了整体思想的应用．