Question

已知数列{a_n}，T_n为其前n项和，且T_n+

1

2

a_n=1．
（1）求a₁，a₂，a₃，并猜想{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）依题意，可求得a₁=

2

3

，a₂=

2

32

，a₃=

2

33

；从而可猜想a_n=

2

3n

；
（2）利用数学归纳法证明：①当n=1时，a₁=

2

3

，结论成立；②假设n=k时，结论成立，即a_k=

2

3k

，用上归纳假设，去证明当n=k+1时结论也成立即可．

解答： 解：（1）∵T₁+

1

2

a₁=1，T₁=a₁，
∴a₁=

2

3

；
又（a₁+a₂）+

1

2

a₂=1，
∴

3

2

a₂=1-a₁=

1

3

，
∴a₂=

2

9

=

2

32

；
同理可求，a₃=

2

33

；
∴猜想：a_n=

2

3n

；
（2）证明：①当n=1时，a₁=

2

3

，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即a_k=

2

3k

，
则当n=k+1时，（a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）+

1

2

a_k+1=1，
即T_k+

3

2

a_k+1=1，
∴

3

2

a_k+1=1-T_k；
∵数列{a_k}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
∴T_k=

2 3 [1-( 1 3 )k]

1- 1 3

=1-(

1

3

)k，
∴

3

2

a_k+1=1-1+(

1

3

)k，
∴a_k+1=2•(

1

3

)k+1=

2

3k+1

，
即n=k+1时，结论也成立；
综合①②知，对任意n∈N^*，a_n=

2

3n

．

点评：本题考查数列递推，着重考查数学归纳法，考查运算、猜想、推理与证明的能力，属于中档题．