Question

12．已知二面角α-AB-β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么cosθ的值等于（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{4}$

Answer 1

分析 作CO⊥β，垂足为O，CD⊥AB，垂足为D，连接DO，推导出∠CDO=θ，由此能求出cosθ．

解答 解：如图所示，CO⊥β，垂足为O，CD⊥AB，垂足为D，
且CO=3，CD=4，连接DO，
∵CO⊥β，∴CO⊥DO，
∴在Rt△CDO中，DO=$\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$，
∵CO⊥β，AB?β，
∴CO⊥AB，即AB⊥CO，又AB⊥CD，CD∩CO=C，
∴AB⊥平面CDO，DO?平面CDO，∴AB⊥DO，
∴∠CDO是二面角α-AB-β的平面角，∴∠CDO=θ，
∴cosθ=$\frac{DO}{CD}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．