Question

17．已知F₁，F₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₂与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若|PF₁|=3|PF₂|，则双曲线的离心率为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设过F₂与双曲线的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x平行的直线交双曲线于点P，运用双曲线的定义和条件可得|PF₁|=3a，|PF₂|=a，|F₁F₂|=2c，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：设过F₂与双曲线的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x平行的直线交双曲线于点P，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由|PF₁|=3|PF₂|，可得|PF₁|=3a，|PF₂|=a，|F₁F₂|=2c，
由tan∠F₁F₂P=$\frac{b}{a}$可得cos∠F₁F₂P=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}}$=$\frac{a}{c}$，
在三角形PF₁F₂中，由余弦定理可得：
|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²-2|PF₂|•|F₁F₂|cos∠F₁F₂P，
即有9a²=a²+4c²-2a•2c•$\frac{a}{c}$，
化简可得，c²=3a²，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和定义法，以及余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．