Question

已知函数f（x）是定义在[-3，3]上的奇函数，且当x∈[0，3]时，f（x）=x²-2x
（1）求f（x）的解析式；
（2）在右侧直角坐标系中画出f（x）的图象，并且根据图象回答下列问题（直接写出结果）
①f（x）的单调增区间；
②若方程f（x）=m有三个根，则m的范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x＜0，则-x＞0，由x＞0时，f（x）=x²-2x，可求得f（-x），而f（x）为定义在R上的奇函数，从而可求得x＜0时的解析式，最后用分段函数表示函数f（x）的解析式即可．
（2）分两段画，每一段都是抛物线的一部分；
（3）观察图象直接写出结果，

解答： 解：（1）令x＜0，则-x＞0，
∵x＞0时，f（x）=x²-2x，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
又f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）=-x²-2x．
当x=0时，f（x）=x²-2x=0，
∴f（x）=

x2-2x，0≤x≤3 -x2-2x，-3≤x＜0

．
（2）

观察图象知：
①单调增区间为[-3，-1]，[1，3]．
②若方程f（x）=m有三个根，则函数y=f（x）与函数y=m有三个交点，
∴m的范围为（-1，1）

点评：本题考查奇函数的解析式的求法，考查函数的单调性，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化与数形结合．