Question

3．如图所示，在正方体AC₁中，AB=2，A₁C₁∩B₁D₁=E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC₁B₁所成的角为β，则cos（α-β）=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{30}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 连接BD交AC于O，连接OB₁，过O作OM⊥BC于M，连接B₁M，B₁A，B₁C．求出α=90°，证明OM⊥平面BCC₁B₁，得出cos（α-β）=sinβ=$\frac{OM}{O{B}_{1}}$．

解答 解：连接BD交AC于O，连接OB₁，过O作OM⊥BC于M，连接B₁M，B₁A，B₁C．
∵B₁A=B₁C，O是AC的中点，∴OB₁⊥AC，
∵B₁E$\stackrel{∥}{=}$OB，∴四边形ODEB₁是平行四边形，
∴OB₁∥DE，
∴DE⊥AC，
∴直线AC与直线DE所成的角为α=90°，
∵OM⊥BC，OM⊥BB₁，
∴OM⊥平面BCC₁B₁，
∴∠OB₁M为直线DE与平面BCC₁B₁所成的角β，
∴cos（α-β）=sinβ=$\frac{OM}{O{B}_{1}}$，
∵正方体的棱长AB=2，∴OM=1，OB=$\frac{1}{2}BD$=$\sqrt{2}$，
∴OB₁=$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，
∴sinβ=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故选A．

点评 本题考查了空间角的计算，作出要求的空间角是解题的关键，也可用向量法求出α，β，再计算cos（α-β），属于中档题．