Question

【题目】已知椭圆的长轴长为4，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过作动直线交椭圆于两点，为平面上一点，直线的斜率分别为，且满足，问点是否在某定直线上运动，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据长轴长为4，离心率为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、即可得结果；（2）当直线的斜率存在时，设直线与椭圆交于，设，将代入，得，，得，结合韦达定理可得，从而可得结果.

（1）依题意，，而，

从而椭圆的方程为．

（2）当直线的斜率存在时，设直线与椭圆交于，

设，将代入，得，显然．

，由已知条件，得，

即，将代入，整理得：

，而 ,所以，

即：，，

即．

当直线的斜率不存在时，经检验符合题意．

综上，点的轨迹方程为：．