Question

【题目】

在平面直角坐标系中，N为圆C：上的一动点，点D（1,0），点M是DN的中点，点P在线段CN上，且.

（Ⅰ）求动点P表示的曲线E的方程；

（Ⅱ）若曲线E与x轴的交点为，当动点P与A，B不重合时，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）证明见解析过程.

【解析】

（Ⅰ）根据点M是DN的中点，又，可知PM垂直平分DN.所以，又，所以.这样利用椭圆的定义可以求出椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设，则，利用斜率公式，可以证明出为定值.

（Ⅰ）由点M是DN的中点，又，可知PM垂直平分DN.所以，又，所以.

由椭圆定义知，点P的轨迹是以C，D为焦点的椭圆.

设椭圆方程为.

又可得

所以动点P表示的曲线E的方程为.

（Ⅱ）证明：

易知A（-2,0），B（2,0）. 设，则，即，

则，，

即，

∴为定值．