Question

20．已知f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx （x∈R）
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），可得函数的最大值和最小值；
（2）解2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得f（x）的单调增区间．

解答 解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx
=2（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最大值和最小值分别为2，-2；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可解得2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$，
∴f（x）的单调增区间为：[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的单调性，属基础题．