Question

13．已知函数f（x）=|x+1|+|x+2|
（Ⅰ）解不等式：f（x）≤5
（Ⅱ）若对任意的x∈R，f（x）≥a²-2a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）求出f（x）的最小值，问题转化为a²-2a≤1，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）≤5，
即|x+1|+|x+2|≤5，
故$\left\{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{x+1+x+2≤5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜-1}\\{-x-1+x+2≤5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{-x-1-x-2≤5}\end{array}\right.$，
解得：-4≤x≤1；
故不等式的解集是[-4，1]；
（Ⅱ）f（x）=|x+1|+|x+2|≥|x+1-x-2|=1，
若对任意的x∈R，f（x）≥a²-2a恒成立，
即a²-2a≤1，解得：1-$\sqrt{2}$≤a≤1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题．