Question

设数列{a_n}的首项a₁=

3

2

，前n项和为S_n，且满足2a_n+1+S_n=3（ n∈N^*）．则满足

18

17

＜

S2n

Sn

＜

8

7

的所有n的和为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：根据递推数列，得到数列{a_n}是公比q=

1

2

，首项a₁=

3

2

的等比数列，解不等式即可得到结论．

解答： 解：∵2a_n+1+S_n=3，
∴2a_n+2+S_n+1=3，
两式相减得2a_n+2+S_n+1-2a_n+1-S_n=0，
即2a_n+2+a_n+1-2a_n+1=0，
则2a_n+2=a_n+1，
当n=1时，2a₂+a₁=3，
则a₂=

3

4

，满足2a₂=a₁，
即2a_n+1=a_n，则

an+1

an

=

1

2

即数列{a_n}是公比q=

1

2

，首项a₁=

3

2

的等比数列，
则前n项和为S_n=

3 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=3-3•（

1

2

）ⁿ，

S2n

Sn

=

3-3•( 1 2 )2n

3-3•( 1 2 )n

=

1-[( 1 2 )n]2

1-( 1 2 )n

=1+（

1

2

）ⁿ，
若

18

17

＜

S2n

Sn

＜

8

7

，
则

18

17

＜1+（

1

2

）ⁿ＜

8

7

，即

1

17

＜（

1

2

）ⁿ＜

1

7

，
则7＜2ⁿ＜17，
则n=3或4，
则3+4=7，
故答案为：7

点评：本题主要考查递推数列的应用，根据递推数列得到数列{a_n}是公比q=

1

2

，首项a₁=

3

2

的等比数列是解决本题的关键．