题目内容
【题目】已知椭圆
的左焦点为
，右顶点为
，上顶点为
，
，
（
为坐标原点）.
（1）求椭圆
的方程；
（2）定义：曲线
在点
处的切线方程为
.若抛物线
上存在点
（不与原点重合）处的切线交椭圆于
、
两点，线段
的中点为
.直线
与过点且平行于
轴的直线的交点为
，证明：点必在定直线上.
【答案】（1）
；（2）见解析.
【解析】
（1）由
得出
，再由
得出
，求出
、
的值，从而得出椭圆的标准方程；
（2）设点的坐标为
，根据中定义得出直线
的方程，并设点
、
，
，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用中点坐标公式求出点
的坐标，得出直线
的方程与
的方程
联立，求出点
的坐标，可得出点所在的定直线的方程.
（1）由，可知
，即
.
，
，
，可得，联立.
得
，则
，所以
，
所以椭圆
的方程为；
（2）设点，则由定义可知，过抛物线
上任一点
处的切线方程为
，所以
.
设、，.
联立方程组
，消去
，得
.
由
，得
，解得
.
因为
，
所以
，从而
，
所以
，所以直线的方程为
.
而过点且平行于
轴的直线方程为，
联立方程
，解得
，所以点在定直线上.
【题目】甲、乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台机床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标 | [85，90） | [90，95） | [95，100） | [100，105） | [105，110） |
甲机床 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
乙机床 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；
（2）甲机床生产1件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元，假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的利润（单位：元）；
（3）从甲、乙机床生产的零件指标在[90，95）内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任意抽取2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率.
