Question

1．如图，单位圆⊙O与x轴正半轴交于点A，角α与β的终边分别与单位圆交于B（x_B，y_B）、C（x_C，y_C）两点，且满β-α=$\frac{π}{4}$，其中α为锐角．
（1）当△AOB为正三角形时，求$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$；
（2）当x_C=-$\frac{3}{5}$时，求S_△AOB．

Answer 1

分析 （1）α=$\frac{π}{3}$，β=$\frac{π}{3}+\frac{π}{4}$=$\frac{7π}{12}$，求出A，B，C的坐标，写出$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{AB}$的坐标，代入数量积公式计算；
（2）cosβ=-$\frac{3}{5}$，sinβ=$\frac{4}{5}$，利用差角公式计算出sinα，代入面积公式即可求出面积．

解答 解：（1）当△AOB为正三角形时，α=$\frac{π}{3}$，β=$\frac{π}{3}+\frac{π}{4}$=$\frac{7π}{12}$，
∴B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$），A（1，0）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{OC}$=（$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$），
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}$+$\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{8}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
（2）∵x_C=cosβ=-$\frac{3}{5}$，∴sinβ=$\frac{4}{5}$，
∴sinα=sin（$β-\frac{π}{4}$）=sinβcos$\frac{π}{4}$-cosβsin$\frac{π}{4}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OBsinα=$\frac{7\sqrt{2}}{20}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数求值，属于基础题．