已知椭圆${C 1}:\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$(1)求证椭圆C1在其上一点A(x0.y0).A处的切线方程为x0x+2y0y-2=0．(2)如图.过椭圆C2:$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$上任意一点P作C1的两条切线PM和PN.切点分别为M.N.当点P在椭圆C2上运动时.是否存在定圆恒与直线MN相切?若存在.求出圆的方程.若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

已知椭圆${C_1}：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$
（1）求证椭圆C₁在其上一点A（x₀，y₀），A处的切线方程为x₀x+2y₀y-2=0．
（2）如图，过椭圆C₂：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$上任意一点P作C₁的两条切线PM和PN，切点分别为M，N，当点P在椭圆C₂上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．

分析（1）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0可得A处的切线方程为x₀x+2y₀y-2=0；
（2）利用同一法求出过MN的方程为mx+2ny-2=0，由点到直线的距离公式求出O到MN所在直线的距离，由距离为定值可得存在定圆恒与直线MN相切．

解答（1）证明：联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+2{y}_{0}y-2=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}-2=0}\end{array}\right.$，得$（{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}）{x}^{2}-4{x}_{0}x+4-4{{y}_{0}}^{2}=0$．
∵△=$16{{x}_{0}}^{2}-4（{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}）（4-4{{y}_{0}}^{2}）$=$16（{{x}_{0}}^{2}{{y}_{0}}^{2}-2{{y}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{4}）$
=$16[（{{x}_{0}}^{2}-2）{{y}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{4}]=16（-2{{y}_{0}}^{4}+2{{y}_{0}}^{4}）=0$．
∴x₀x+2y₀y-2=0为椭圆${C_1}：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$在点A（x₀，y₀）处的切线方程；
（2）解：设P（m，n），则椭圆C₁在点M（x₃，y₃）处的切线方程为x₃x+2y₃y-2=0．
又PM过点P（m，n），∴x₃m+2y₃n-2=0．
同理点N（x₄，y₄）也满足x₄m+2y₄n-2=0．
∴M，N都在直线xm+2yn-2=0上，
即直线MN的方程为mx+2ny-2=0．
∴原点0到直线MN的距离d=$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}}$．
∵$\frac{m^2}{8}+\frac{n^2}{2}=1$，∴m²+4n²=8．
∴$d=\frac{2}{{\sqrt{8}}}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
即直线MN始终与圆${x^2}+{y^2}=\frac{1}{2}$相切．