Question

2．锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量$\overrightarrow{m}$=（2，c），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{b}{2}$cosC-sinA，cosB），已知b=$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角B；
（2）求△ABC面积的最大值及此时另外两个边a，c的长．

Answer 1

分析 （1）应用正弦定理求B角；（2）注意题中三角形为锐角三角形，应用化一公式求得面积最大值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$
即bcosC+ccosB=2sinA
2RsinBcosC+2RsinCcosB=2sinA
2Rsin（B+C）=2sinA
2RsinA=2sinA
∴2R=2
∵$b=2RsinB=\sqrt{3}$
∴$sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵$0＜B＜\frac{π}{2}$∴$B=\frac{π}{3}$
（2）S=$\frac{1}{2}acsinB$═$\frac{\sqrt{3}}{4}ac$=$\frac{\sqrt{3}}{4}•2RsinA•2RsinC$
=$\sqrt{3}sinAsinC$
=$\sqrt{3}sin（\frac{2π}{3}-C）sinC$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin（2C-\frac{π}{6}）+\frac{\sqrt{3}}{4}$
∵三角形为锐角三角形
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜C＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-C＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$即$\frac{π}{6}＜C＜\frac{π}{2}$
∴$当2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}即C=\frac{π}{3}时，S取得最大值$$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
此时$A=B=C=\frac{π}{3}$∴$a=b=c=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理和三角函数化一求最值．