Question

13．（1）已知：△ABC的三条边分别为a，b，c．求证：$\frac{a+b}{1+a+b}$＞$\frac{c}{1+c}$；
（2）已知a、b、c∈R⁺，a+b+c=1，求证$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥9．

Answer 1

分析 （1）运用分析法证明，运用不等式的性质和三角形的三边的关系，即可得证．
（2）利用“1”的代换，结合基本不等式即可证明．

解答 证明：（1）要 证$\frac{a+b}{1+a+b}＞\frac{c}{1+c}$成立，
只需证 $1-\frac{1}{1+a+b}＞1-\frac{1}{1+c}$只需证 $-\frac{1}{1+a+b}＞-\frac{1}{1+c}$，
只需证 $\frac{1}{1+a+b}＜\frac{1}{1+c}$只需证 1+c＜1+a+b，只需证c＜a+b
∵a，b，c是△ABC的三条边∴c＜a+b成立，原不等式成立．…（6分）
（2）∵a+b+c=1
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=$\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}$=$（1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}）+（\frac{a}{b}+1+\frac{c}{b}）+（\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1）$
=$3+（\frac{b}{a}+\frac{a}{b}）+（\frac{c}{a}+\frac{a}{c}）+（\frac{c}{b}+\frac{b}{c}）$
∵$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}≥2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}=2$，同理：$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}≥2$，$\frac{c}{b}+\frac{b}{c}≥2$．
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥3+2+2+2=9$．…（12分）

点评 本题考查不等式的证明，考查分析法与综合法的运用，注意运用分析法证明，结合不等式的性质和三角形的三边关系，考查推理能力，属于中档题．