Question

11．点P在正方形ABCD内，满足AP=2BP，CP=3BP，求∠APB的度数．

Answer 1

分析 先画出图象设BP=1，则AP=2，CP=3，将△ABP绕B按顺时针旋转$\frac{π}{2}$到△CBE，判断边角关系以及求出PE和∠PEB，在△PEC中由余弦定理求出cos∠PEC，利用反三角函数表示出∠PEC，由角相等求出∠APB．

解答 解：如图所示：由题意设BP=1，则AP=2，CP=3，
将△ABP绕B按顺时针旋转90°到△CBE，
∴BP=BE=1，∠APB=∠BEC，且∠PBE=90°，CE=AP=2，
则PE=$\sqrt{2}$，∠PEB=45°，
在△PEC中，由余弦定理得，
cos∠PEC=$\frac{P{E}^{2}+E{C}^{2}-P{C}^{2}}{2PE•EC}$=$\frac{2+4-9}{2×\sqrt{2}×2}$=$-\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
∴∠PEC=arccos（$-\frac{3\sqrt{2}}{8}$）
∴∠BEC=∠CEP+∠PEC=45°+arccos（$-\frac{3\sqrt{2}}{8}$），
即∠APB=45°+arccos（$-\frac{3\sqrt{2}}{8}$），

点评 本题考查余弦定理和反三角函数的应用，作辅助线是解题的关键，考查数形结合思想，属于中档题．