Question

6．已知函数f（x）=sin2x+sinx+cosx，以下说法中不正确的是（　　）

• A． f（x）周期为2π
• B． f（x）最小值为$-\frac{5}{4}$
• C． f（x）为单调函数
• D． f（x）关于$x=\frac{π}{4}$对称

Answer 1

分析 由f（x+2π）=f（x），可以判断f（x）周期为2π，A正确；
设t=sinx+cosx，得出t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]且sin2x=t²-1，利用换元法求出f（x）的最值判断B正确；
由二次函数的性质判断f（x）不是单调函数，C错误；
证明f（$\frac{π}{2}$-x）=f（x），判断D正确．

解答 解：对于A，f（x+2π）=sin[2（x+2π）]+sin（x+2π）+cos（x+2π）
=sin2x+sinx+cosx=f（x），
∴函数周期为2π，A正确；
对于B，设t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴t²=（sinx+cosx）²=1+sin2x，
∴sin2x=t²-1，
∴y=sin2x+sinx+cosx=t²-1+t=t²+t-1=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴当t=-$\frac{1}{2}$时，函数取最小值y_min=-$\frac{5}{4}$，B正确；
对于C，由二次函数可知，当t∈[-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$]时，函数y=t²+t-1单调递减，
当t∈[-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$]时，函数y=t²+t-1单调递增，∴f（x）不是单调函数，C错误；
对于D，f（$\frac{π}{2}$-x）=sin[2（$\frac{π}{2}$-x）]+sin（$\frac{π}{2}$-x）+cos（$\frac{π}{2}$-x）
=sin（π-2x）+sinx+cosx
=sin2x+sinx+cosx=f（x），
∴函数关于x=$\frac{π}{4}$对称，D正确．
故选：C．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数的对称性，周期性质问题，是综合题．