题目内容
已知函数
定义在R上.
（1）若
可以表示为一个偶函数
与一个奇函数
之和，设
，
，求出
的解析式；
（2）若
对于
恒成立，求m的取值范围；
（3）若方程
无实根，求m的取值范围.
解：（1）假设
①，其中偶函数，为奇函数，
则有
，即
②，
由①②解得
，
.
∵定义在R上，∴，都定义在R上.
∵
，
.
∴是偶函数，是奇函数，∵，
∴
，
. 由
，则
，
平方得
，∴
，
∴
.
（2）∵
关于单调递增，∴
.
∴
对于
恒成立，
∴
对于
恒成立，令
，则
，
∵
，∴
，故
在
上单调递减，
∴
，∴
为m的取值范围.
（3）由（1）得
，
若无实根，即
①无实根，
方程①的判别式
.
1°当方程①的判别式
，即
时，方程①无实根.
2°当方程①的判别式
，即
时，
方程①有两个实根
，
即
②，
只要方程②无实根，故其判别式
，
即得
③，且
④，
∵，③恒成立，由④解得
， ∴③④同时成立得
．
综上，m的取值范围为.
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，恒有，
，且
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，则
= ．
是定义在
上的函数，对于任意
，
恒成立，且当
时，
，若
，
对任意
恒成立，则实数
的取值范围为 ．