Question

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin(A－B)＝cosC．

（Ⅰ）若a＝3，b＝，求c；

（Ⅱ）求的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由sin(A－B)＝cosC，得sin(A－B)＝sin(－C)．

∵△ABC是锐角三角形，

∴A－B＝－C，即A－B＋C＝，     ①

又A＋B＋C＝π，                    ②

由②－①，得B＝．

由余弦定理b²＝c²＋a²－2cacosB，得()²＝c²＋(3)²－2c×3cos，

即c²－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．

当c＝2时，b²＋c²－a²＝()²＋2²－(3)²＝－4＜0，

∴b²＋c²＜a²，此时A为钝角，与已知矛盾，∴c≠2．

故c＝4．

（Ⅱ）由（Ⅰ），知B＝，∴A＋C＝，即C＝－A．

∴＝＝＝sin(2A－)．

∵△ABC是锐角三角形，

∴＜A＜，∴－＜2A－＜，

∴－＜sin(2A－)＜，∴－1＜＜1．

故的取值范围为(－1，1)．