Question

19．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），再以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点M的坐标为（-2，1），求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，能求出圆C的直角坐标方程．
（2）将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程，化简整理，再由韦达定理结合已知条件能求出|MA|+|MD|的值．

解答 解：（1）圆C的方程为ρ=4sinθ，
∴ρ²=4ρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程为x²+y²-4y=0．
即x²+（y-2）²=4．
（2）|MA|+|MB|的值将直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入圆的方程，得：
（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²+（2-$\frac{\sqrt{2}}{2}t$）²=4，
整理，得${t}^{2}-3\sqrt{2}t+1=0$，
△=18-4=14＞0，设t₁，t₂为方程的两个实根，
则${t}_{1}+{t}_{2}=3\sqrt{2}$，t₁t₂=1，∴t₁，t₂均为正数，
又直线l过M（-2，1），
由t的几何意义得：
|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=${t}_{1}+{t}_{2}=3\sqrt{2}$．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，同时考查直线与圆的位置关系，考查直线参数方程的运用，是基础题．