Question

4．已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为8，将其正数零点从小到大依次构成数列{a_n}（n∈N^*）．（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=a_n•2${\;}^{\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）}$，求数列{b_n}的前n项和S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为8，可得$\frac{2π}{ω}$=8，解得ω．于是f（x）=sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$），令f（x）=0，解得$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z．可得a_n=4n-1，n∈N^*．
（2）b_n=a_n•2${\;}^{\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）}$=（4n-1）•2ⁿ．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为8，
∴$\frac{2π}{ω}$=8，解得ω=$\frac{π}{4}$．
∴f（x）=sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$），
令f（x）=0，解得$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z．
解得x=4k-1，取k∈N^*．
则a_n=4n-1，n∈N^*．
（2）b_n=a_n•2${\;}^{\frac{1}{4}（{a}_{n}+1）}$=（4n-1）•2ⁿ．
则数列{b_n}的前n项和S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=3×2+7•2²+11×2³+…+（4n-1）•2ⁿ．
2S_n=3×2²+7×2³+…+（4n-5）•2ⁿ+（4n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=3×2+4（2²+2³+…+2ⁿ）-（4n-1）•2ⁿ⁺¹=$4×\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+2-（4n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-4n）•2ⁿ⁺¹-2．
∴S_n=（4n-3）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、等比数列的通项公式性质及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．