Question

11．已知f（x）=ax+1，g（x）=e^x-aex，若关于x的不等式f（x）•g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [-1，1]
• B． [0，1]
• C． [0，e）
• D． [0，e]

Answer 1

分析 对a讨论，a=0，显然成立；a＞0，只要e^x-aex≥0，即有ae≤$\frac{{e}^{x}}{x}$的最小值，运用导数判断单调性，可得最小值；a＜0，只要ax+1≥0恒成立，由一次函数的单调性可得．求并集即可得到所求范围．

解答 解：由f（x）•g（x）≥0等价为不等式（ax+1）（e^x-aex）≥0，
当a=0时，即为e^x＞0显然成立；
当a＞0时，x＞0，ax+1＞0，只要e^x-aex≥0，
即有ae≤$\frac{{e}^{x}}{x}$的最小值，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有x=1处取得最小值，且为e，
则ae≤e，解得0＜a≤1；
当a＜0时，x＞0，e^x-aex＞0，
只要ax+1≥0恒成立，由于ax+1≤1，
则a＜0不恒成立．
综上可得a的范围是[0，1]．
故选：B．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，同时考查函数的最值的求法，运用导数判断单调性，属于中档题．