Question

7．已知函数$f（x）={（\frac{1}{2}）^{sinx}}，x∈[0，\frac{5π}{6}]$，则f（x）的值域为[$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 根据指数的性质可知f（x）=$（\frac{1}{2}）^{u}$是减函数，u=sinx，x∈[0，$\frac{5π}{6}$]求出函数u的值域，可知函数f（x）的值域．

解答 解：由题意，令u=sinx，x∈[0，$\frac{5π}{6}$]，
根据正弦函数的性质可知：u∈[0，1]
则f（x）=$（\frac{1}{2}）^{u}$是减函数，
当u=0时，函数f（x）取值最大值为1．
当u=1时，函数f（x）取值最小值为$\frac{1}{2}$．
∴函数$f（x）={（\frac{1}{2}）^{sinx}}，x∈[0，\frac{5π}{6}]$，则f（x）的值域为[$\frac{1}{2}$，1]．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查的复合函数的值域问题．要抓住基本函数的值域，清楚复合函数是由哪些基本函数复合而来．属于基础题．