题目内容
已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC，bcosB，cosA成等差数列．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，求△ABC周长的最大值．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，求△ABC周长的最大值．
考点：正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：（1）由acosC，bcosB，ccosA为等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦的化简求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）由b，sinB的值，利用正弦定理表示出a与c，进而表示出三角形ABC周长，利用余弦函数的值域即可确定出周长的最大值．
（2）由b，sinB的值，利用正弦定理表示出a与c，进而表示出三角形ABC周长，利用余弦函数的值域即可确定出周长的最大值．
解答：
解：（1）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
∴2bcosB=acosC+ccosA，
利用正弦定理化简得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，∴cosB=
，
则B=60°；
（2）∵b=2，sinB=
，
∴由正弦定理得：
=
=
=
=
，即a=
sinA，c=
sinC，
∵A+C=120°，即C=120°-A，
∴△ABC周长为a+b+c=
（sinA+sinC）+2=
[sinA+sin（120°-A）]+2=
×2sin60°cos（A-60°）+2=4cos（A-60°）+2，
∵0＜A＜120°，∴-60°＜A-60°＜60°，
∴
＜cos（A-60°）≤1，即4＜4cos（A-60°）+2≤6，
则△ABC周长的最大值为6．
∴2bcosB=acosC+ccosA，
利用正弦定理化简得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，∴cosB=
| 1 |
| 2 |
则B=60°；
（2）∵b=2，sinB=
| ||
| 2 |
∴由正弦定理得：
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
| 2 | ||||
|
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
∵A+C=120°，即C=120°-A，
∴△ABC周长为a+b+c=
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
∵0＜A＜120°，∴-60°＜A-60°＜60°，
∴
| 1 |
| 2 |
则△ABC周长的最大值为6．
点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题关键．
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| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| A、a＞b＞c |
| B、b＞a＞c |
| C、a＞c＞b |
| D、b＞c＞a |