Question

9．顶点在单位圆上的△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b²+c²=5，$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则S_△ABC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意和正弦定理求出边a，结合条件和三边关系判断出角A是锐角，由余弦定理求出bc的值，代入三角形面积公式求出S_△ABC的值．

解答 解：由题意得，△ABC外接圆的半径是1，
∵$sinA=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=2$，则a=$\sqrt{3}$，
∵b²+c²=5，∴b²+c²-a²=3＞0，则A是锐角，且A=60°，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
则3=5-bc，得bc=2，
∴三角形的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，以及三角形面积公式的灵活应用，注意边角关系，属于中档题．