Question

7．如图，在2×4的方格纸中，若$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$是起点和终点均在格点的向量，则向量2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$的夹角余弦值是$-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，求得向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的坐标，向量2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$的坐标，以及数量积和模，再由夹角公式计算即可得到所求值．

解答 解：建立坐标系，如图：
可得$\overrightarrow{a}$=（2，1）-（0，2）=（2，-1），$\overrightarrow{b}$=（4，2）-（1，0）=（3，2），
则2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=（4，-2）+（3，2）=（7，0），
$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$=（2，-1）-（3，2）=（-1，-3），
（2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=7×（-1）+0×（-3）=-7，
|2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=7，|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=$\sqrt{1+9}$=$\sqrt{10}$，
可得向量2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$的夹角余弦值cos＜2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$＞=$\frac{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-7}{7\sqrt{10}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案为：$-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

点评 本题主要考查平面向量的数量积的运算，注意运用坐标法，考查运算能力，属于中档题．