Question

19．已知两定点M（0，1），N（1，2），平面内一动点P到M的距离与P到N的距离之比为$\sqrt{2}$，直线y=kx-1与点P的轨迹交于A，B两点．
（1）求点P的轨迹方程，并指出是什么图形；
（2）求实数k的取值范围；
（3）是否存在k使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=11（O为坐标原点），若存在求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直接法，可得点P的轨迹方程，并指出是什么图形；
（2）利用圆心到此直线的距离小于半径，求实数k的取值范围；
（3）由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\{x^2}+{y^2}-4x-6y+9=0\end{array}\right.$消去y：（1+k²）x²-4（2k+1）x+16=0，利用韦达定理及向量数量积运算可得结论．

解答 解：（1）设动点P的坐标为P（x，y）
由已知可得    $|MP|=\sqrt{2}|NP|$，即$\sqrt{{x^2}+{{（y-1）}^2}}=\sqrt{2}×\sqrt{{{（x-1）}^2}+{{（y-2）}^2}}$
整理 x²+y²-4x-6y+9=0，即（x-2）²+（y-3）²=4，其图形是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆．…（4分）
（2）直线y=kx-1，即kx-y-1=0，圆心到此直线的距离小于半径$\frac{|2k-3-1|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}＜2$解得 $k＞\frac{3}{4}$…（4分）
（3）设A（x₁，kx₁-1），B（x₂，kx₂-1），由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=11$可得x₁x₂+（kx₁-1）（kx₂-1）=11，即（k²+1）x₁x₂-k（x₁+x₂）-10=0…①
又由$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\{x^2}+{y^2}-4x-6y+9=0\end{array}\right.$消去y：（1+k²）x²-4（2k+1）x+16=0
由（2）知$k＞\frac{3}{4}$∴${x_1}+{x_2}=\frac{4（2k+1）}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{16}{{1+{k^2}}}$…②
将②代入①可得$16-\frac{{8{k^2}+4k}}{{1+{k^2}}}-10=0$，解得k=1，或k=-3（不满足$k＞\frac{3}{4}$）舍去，
∴当k=1时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=11$成立．…（4分）

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．