Question

【题目】设曲线上一点到焦点的距离为3．

（1）求曲线C方程；

（2）设P，Q为曲线C上不同于原点O的任意两点，且满足以线段PQ为直径的圆过原点O，试问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）直线恒过定点，详见解析

【解析】

(1) 由抛物线定义得，可解得的值，从而得到抛物线的方程.
(2) 以为直径的圆过原点，有,设直线的方程为,与曲线C方程联立,得到点 的坐标,同理得到点 的坐标,写出的方程，从而得到答案.

解：（1）由抛物线定义得，

解得，所以曲线C方程为

（2）以为直径的圆过原点，

设直线的方程为,

与曲线C方程联立，得

解得（舍去）或，则.

又直线的方程为，同理：.

又直线斜率存在，

的直线方程为

即

直线恒过定点.