Question

6．下列说法正确的是（　　）

• A． 存在α∈（0，$\frac{π}{2}$），使sinα+cosα=$\frac{1}{3}$
• B． y=tanx在其定义域内为增函数
• C． y=cos2x+sin（$\frac{π}{2}$-x）既有最大、最小值，又是偶函数
• D． y=sin|2x+$\frac{π}{6}$|的最小正周期为π

Answer 1

分析 用分析法可得A不正确．通过举反例来可得B不正确．化简函数的解析式为2（cosx+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，可得C正确．y=sin|2x+$\frac{π}{6}$|不是周期函数，故D不正确．

解答 解：要使使sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，只要 1+2sinαcosα=$\frac{1}{9}$，即 sinαcosα=-$\frac{4}{9}$，
故α不可能满足α∈（0，$\frac{π}{2}$），故A不正确．
由于当x=0 时，tanx=0，当 x=π 时，也有tanx=0，π＞0，故y=tanx在其定义域内不是增函数，故B不正确．
由于y=cos2x+sin（$\frac{π}{2}$-x）=2cos²x-1+cosx=2（cosx+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，由于cosx为偶函数，故函数y为偶函数．
当cosx=1时，y取得最大值为 $\frac{25}{8}$，当cosx=-$\frac{1}{4}$时，y取得最小值为-$\frac{9}{8}$，故C正确．
由于y=sin|2x+$\frac{π}{6}$|不是周期函数，故D不正确，
故选：C．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．