Question

已知f(x)=-2asin(2x+

π

6

)+2a+b，x∈[

π

4

，

3π

4

]，是否存在常数a，b∈Q，使得f（x）的值域为{y|-3≤y≤

3

-1}？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：先假设存在a，b满足条件；根据x的范围求出2x+

π

6

的范围进而得到sin（2x+

π

6

）的范围，然后对a分大于0和小于0两种情况讨论即可得到答案．

解答：解：存在a=-1，b=1满足要求．
∵

π

4

≤x≤

3π

4

，∴

2π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

3

，∴-1≤sin(2x+

π

6

)≤

3

2

，
若存在这样的有理a，b，则
（1）当a＞0时，

- 3 a+2a+b=-3 2a+2a+b= 3 -1

无解．
（2）当a＜0时，

2a+2a+b=-3 - 3 a+2a+b= 3 -1

解得a=-1，b=1，
即存在a=-1，b=1满足要求．

点评：本题主要考查三角函数的值域问题．在解此类问题时一定要重视自变量x的取值范围才能防止出错．