Question

13．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=9，S₃=15．
（1）求S_n；
（2）设数列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前n项和为T_n，证明：${T_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的求和公式和通项公式，求得首项和公差，即可得到所求和；
（2）求得$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，再由不等式的性质即可得证．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
S₃=$\frac{1}{2}$（a₁+a₃）×3=3a₂=15⇒a₂=5，
∴$d=\frac{{{a_4}-{a_2}}}{2}=2$，a₁=3，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
${S_n}=\frac{3+2n+1}{2}•n=n（n+2）$；
（2）证明：$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
则${T_n}=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{2×4}+…+\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．