已知函数f(x)=|x-a|+|x-3a|．的最小值为2.求a的值,(2)若对?x∈R.?a∈[-1.1].使得不等式m2-|m|-f(x)＜0成立.求实数m的取值范围．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

18．已知函数f（x）=|x-a|+|x-3a|．
（1）若f（x）的最小值为2，求a的值；
（2）若对?x∈R，?a∈[-1，1]，使得不等式m²-|m|-f（x）＜0成立，求实数m的取值范围．

分析（1）利用绝对值不等式，求出f（x）的最小值为2|a|，利用f（x）的最小值为2，求a的值；
（2）由（1）知f（x）的最小值为2|a|，故?a∈[-1，1]，使m²-|m|＜2|a|成立，即 m²-|m|＜2，即可求实数m的取值范围．

解答解：（1）|x-a|+|x-3a|≥|（x-a）-（x-3a）|=|2a|，当且仅当x取介于a和3a之间的数时，等号成立，故f（x）的最小值为2|a|，∴a=±1；
（2）由（1）知f（x）的最小值为2|a|，故?a∈[-1，1]，使m²-|m|＜2|a|成立，即 m²-|m|＜2，
∴（|m|+1）（|m|-2）＜0，∴-2＜m＜2．

点评本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的性质，属于中档题．

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