Question

5．将一副三角板拼成直二面角A-BC-D，其中∠BAC=90°，AB=AC，∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（1）求证：平面BAD⊥平面CAD；
（2）求BD与平面CAD所成的角的正切值；
（3）若CD=2，求C到平面BAD的距离．

Answer 1

分析 （1）要证明平面BAD⊥平面CAD，只需要证明BA⊥平面CAD，根据面面垂直，得到线面垂直，从而得证．
（2）根据BA⊥平面CAD，可得∠ADB为BD与平面CAD所成的角，设值进行计算即可．
（3）平面BAD⊥平面CAD；过C点作AD的垂线CH，即CH⊥平面BAD，则CH的长度为所求值．

解答 解：（1）∵平面BAD⊥平面CAD，CD⊥BC，CD?平面BCD
∴CD⊥平面CAB，
∵AB?平面CAB，∴CD⊥AB，
又CA⊥AB，CA∩CD=C，
∴BA⊥平面CAD
∴BA?平面CAD
所以：平面BAD⊥平面CAD；
得证
（2）由（1）可知，BA⊥平面CAD
∴∠ADB为BD与平面CAD所成的角．
设BC=1，则AB=$\sqrt{2}$，BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
sin∠ADB=$\frac{AB}{BD}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，
cos∠ADB=$\frac{\sqrt{10}}{4}$
tan∠ADB=$\frac{\sqrt{15}}{5}$
BD与平面CAD所成的角的正切值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
（3）由（1）可知：平面BAD⊥平面CAD；
∴过C点作AD的垂线CH，垂足为H，则CH⊥平面BAD，
故：CH的长度为C到平面BAD的距离．
∵CD=2，
∴BC=$2\sqrt{6}AC=\sqrt{6}$
∴CH=$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{4+6}}=\frac{2\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了以面面垂直为依托，考查面面垂直的性质和判定，考查了线面角问题以及点到平面的距离问题．属于中档题．