Question

17．已知数列{a_n}的前n项和S_n=1-a_n，其中n∈N^*．
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）若b_n=na_n，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）当n=1时，求得${a_1}=\frac{1}{2}$，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}（n≥2）$，可知数列{a_n}是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，求得{a_n}的通项公式；
（II）由（I）可知，b_n=na_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，采用乘以公比“错位相减法”，即可求得{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（I）当n=1时，S₁=1-a₁，
解得：${a_1}=\frac{1}{2}$．…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1）=a_n-1-a_n
化简整理得：$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}（n≥2）$…（4分）
因此，数列{a_n}是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．
从而，${a_n}={（\frac{1}{2}）^n}$．…（6分）
（II）由（I）可得，b_n=na_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴${S_n}=1•\frac{1}{2}+2•{（{\frac{1}{2}}）^2}+3•{（{\frac{1}{2}}）^3}+4•{（{\frac{1}{2}}）^4}+…+n•{（{\frac{1}{2}}）^n}$，
$\frac{1}{2}{S_n}={（{\frac{1}{2}}）^2}+2•{（{\frac{1}{2}}）^3}+3•{（{\frac{1}{2}}）^4}+…+n•{（{\frac{1}{2}}）^{n+1}}$…（8分）
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{\frac{1}{2}-（\frac{1}{2}）^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴S_n=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．…（12分）

点评 本题考查等比数列通项公式，“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．