Question

4．已知球内接正四棱锥P-ABCD的高为3，AC，BC相交于O，球的表面积为$\frac{169π}{9}$，若E为PC中点．
（1）求异面直线BP和AD所成角的余弦值；
（2）求点E到平面PAD的距离．

Answer 1

分析 由已知球的表面积求出球的半径，再由棱锥的高可得球心到正四棱锥底面中心的距离，求解三角形得正四棱锥的底面边长．
（1）找出异面直线BP和AD所成角，求解三角形可得异面直线BP和AD所成角的余弦值；
（2）利用等积法求点E到平面PAD的距离．

解答 解：由球的表面积公式S=4πR²，得球的半径$R=\frac{13}{6}$，
设球心为O₁，在正四棱锥P-ABCD中，高为PO，则O₁必在PO上，
连AO₁，则${O_1}O=\frac{5}{6}，A{O_1}=\frac{13}{6}$，
则在Rt△O₁OA，有$OO_1^2+O{A^2}={O_1}{A^2}$，
即OA=2，可得正方形ABCD的边长为$2\sqrt{2}$，
侧棱$PA=\sqrt{O{P^2}+O{A^2}}=\sqrt{13}$．
（1）在正方形ABCD中，BC∥AD，∠PBC是异面直线BP和AD所成的角或其补角，
取BC中点M，在等腰△PBC中，可得PM⊥BC，斜高$PM=\sqrt{11}$，
则在Rt△PMB中，$cos∠PBC=\frac{BM}{PB}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{13}}}=\frac{{\sqrt{26}}}{13}$，
∴异面直线BP和AD所成的角的余弦值为$\frac{{\sqrt{26}}}{13}$；
（2）由O，E为CA，CP中点，得OE∥AP，
且满足OE?平面PAD，AP?平面PAD，∴OE∥平面PAD，
∴E到平面PAD的距离等于O到平面PAD的距离，
又∵${S_{△PAD}}=\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•\sqrt{11}=\sqrt{22}，{S_{△AOD}}=\frac{1}{2}•2•2=2$，
再设O到平面PAD的距离为h，则由V_E-PAD=V_O-PAD=V_P-AOD，
可得$\frac{1}{3}•{S_{△PAD}}•h=\frac{1}{3}•{S_{△AOD}}•PO$，则$h=\frac{{3\sqrt{22}}}{11}$，
∴点E到平面PAD的距离$\frac{{3\sqrt{22}}}{11}$．

点评 本题考查空间中点线面间的距离计算，考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．