Question

9．已知函数f（x）=-x²+2ax-a-a²在x∈[0，2]上的最大值为-2，求实数a的值．

Answer 1

分析 函数的对称轴方程为x=a，求出闭区间的中点为1，分a＜1、a≥1两种情况，分别根据函数在[0，2]上的最大值为-2，求得a的值，综合可得结论．

解答 解：函数f（x）=-x²+2ax-a-a² =-（x-a）²-a，函数f（x）的图象的对称轴为x=a，
∵函数f（x）在 x∈[0，2]上的最大值为-2，闭区间[0，2]的中点为1，
当a＜1时，f（x）在[0，2]上的最大值为f（2）=-4+3a-a² =-2，求得a=2 （舍去），或a=1（舍去）．
当a≥1时，f（x）在[0，2]上的最大值为f（0）=-a-a² =-2，求得a=-2（舍去），或a=1．
综上可得，a=1．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．