Question

13．已知$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow b$，且|${\overrightarrow a}$|=|${\overrightarrow b}$|=4，∠AOB=60°，求：
①|3$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b}$|； 
②$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$的夹角．

Answer 1

分析 ①根据条件，进行数量积的运算可以求出$（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）^{2}$的值，进而便可得出$|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$的值；
②进行数量积的运算便可求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$和$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}$的值，进而根据向量夹角的余弦公式即可求出cos$＜\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}，\overrightarrow{a}＞$的值，从而得出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角．

解答 解：①$（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）^{2}=9{\overrightarrow{a}}^{2}-12\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}$
=$9×16-12×16×\frac{1}{2}+4×16$
=16×7；
∴$|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=4\sqrt{7}$；
②$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=16+16+16=16×3；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=4\sqrt{3}$；
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=16+8=24$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}，\overrightarrow{a}＞=\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|}$=$\frac{24}{4\sqrt{3}×4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为30°．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，要求$|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$，而求$（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）^{2}$的方法，以及向量夹角的余弦公式，已知三角函数值求角．