Question

18．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）在x=$\frac{π}{3}$处取最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）求的值域．

Answer 1

分析 （1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，求出φ即可得到函数的解析式．
（2）通过函数的解析式，求出相位的范围，利用正弦函数的有界性求解函数的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，
∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，T=π，∴ω=2．
f（x）=2sin（2x+φ）+1（-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）在x=$\frac{π}{3}$处取最大值为3，可得2sin（2×$\frac{π}{3}$+φ）+1=3，$\frac{2π}{3}+$φ=$\frac{π}{2}$，
φ=$-\frac{π}{6}$．
故函数的解析式为f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x$-\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]；f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1∈[0，3]
f（x）求的值域为：[0，3]．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，考查计算能力．