Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA⊥PC，∠ADC=120°，底面ABCD为菱形，G为PC的中点，E，F分别为AB，PB上一点，AB=4$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{2}$，PB=4PF．
（1）求证：EF∥平面BDG；
（2）求二面角C-DF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC，BD，交于点O，由已知条件推导出EF∥OG，由此能证明EF∥平面BDG．
（2）取AB中点H，以D为原点，DH为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面CDF的法向量和平面BDF的法向量，利用向量法能求出二面角C-DF-B的余弦值．

解答 （1）证明：连结AC，BD，交于点O，
∵底面ABCD为菱形，∴O是AC中点，
∵G是PC中点，∴OG∥AP，
∵E，F分别为AB，PB上一点，AB=4$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{2}$，PB=4PF，
∴EF∥AP，∴EF∥OG，
∵EF?平面BDG，OG?平面BDG，
∴EF∥平面BDG．
（2）解：取AB中点H，以D为原点，DH为x轴，DC为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设P（0，0，4t），t＞0，由已知得E（2$\sqrt{6}$，-$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{6}$，2$\sqrt{2}$，0），
C（0，4$\sqrt{2}$，0），F（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$，3t），A（2$\sqrt{6}$，-2$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{PA}$=（2$\sqrt{6}$，2$\sqrt{2}$，-4t），$\overrightarrow{PC}$=（0，4$\sqrt{2}$，-4t），
∵PA⊥PC，∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$=0+16-16t²=0，解得t=1，
$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{2}，3$），$\overrightarrow{DB}$=（$2\sqrt{6}，4\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{DC}$=（0，4$\sqrt{2}$，0），
设平面CDF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=\frac{\sqrt{6}}{2}x+\sqrt{2}y+3tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=4\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{6}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{6}$，0，-1），
设平面BDF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=\frac{\sqrt{6}}{2}a+\sqrt{2}b+3z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2\sqrt{6}a+4\sqrt{2}b=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{6}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{6}$，-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0），
设二面角C-DF-B的平面角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{6}{\sqrt{7}•\sqrt{\frac{27}{2}}}$|=$\frac{2\sqrt{42}}{21}$．
∴二面角C-DF-B的余弦值为$\frac{2\sqrt{42}}{21}$．

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的证明，考查二面角的平面角及求法，建立空间坐标系，将空间夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．