Question

8．已知函数f（x）=x²+2ax+2．
（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-2，3）上的值域；
（2）当a=-1时，求函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值；
（3）求f（x）在[-5，5]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）函数在[-2，-1）上单调递减，在（-1，3]上单调递增，可得函数f（x）在区间[-2，3）上的值域；
（2）当a=-1时，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，分类讨论，即可求函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值；
（3）由于二次函数的对称轴为x=-a，分①当-a＜-5、②当-5≤-a＜0、③当0≤-a≤5、④当-a＞5四种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最值．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1，
函数在[-2，-1）上单调递减，在（-1，3]上单调递增，
∴x=-1，f（x）_min=1，x=3，f（x）_max=17，
∴函数f（x）在区间[-2，3）上的值域是[1，17]；
（2）当a=-1时，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
t$＜\frac{1}{2}$，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值f（t）=（t-1）²+1；
t≥$\frac{1}{2}$，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值f（t+1）=t²+1；
∴函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值$\left\{\begin{array}{l}{（t-1）^{2}+1，t＜\frac{1}{2}}\\{{t}^{2}+1，t≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（3）∵函数f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a² 的对称轴为x=-a，
①当-a＜-5，即a＞5时，函数y在[-5，5]上是增函数，
当x=-5时，函数y取得最小值为27-10a；当x=5时，函数y取得最大值为27+10a．
②当-5≤-a＜0，即0＜a≤5时，当x=-a时，函数y取得最小值为2-a²；当x=5时，函数y取得最大值为27+10a．
③当0≤-a≤5，即-5≤a≤0时，x=-a时，函数y取得最小值为2-a²；当x=-5时，函数y取得最大值为27-10a．
④当-a＞5，即a＜-5时，函数y在[-5，5]上是减函数，故当x=-5时，函数y取得最大值为27-10a；当x=5时，函数y取得最小值为27+10a．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．